mathematics and statistics

[R을 활용한 통계한 개론]확률의 정의와 기본 개념, 조건부확률, 독립

준2준2 2024. 12. 10. 23:34

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K-MOOC

 

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K-mooc 강좌 R을 활용한 통계학 개론을 정리한 내용입니다.

 

1. 확률의 정의

  • 확률은 미래의 불확실한 사건에 대해 자료를 근거로 객관적이고 합리적으로 발생 가능성을 제시하는 통계학의 주요 역할 중 하나입니다.
  • 통계적 실험 결과를 바탕으로 사건의 가능성을 수치화하여 예측합니다.

2. 확률과 통계적 실험

  1. 통계적 실험:
    • 실행 전에는 결과를 알 수 없는 행위.
    • 예: 동전 던지기, 주사위 굴리기, 약물 실험.
  2. 표본공간 (Sample Space, S):
    • 실험에서 나타날 수 있는 모든 결과의 집합.
    • 예: 주사위를 던졌을 때, 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  3. 단순사건 (Elementary Event):
    • 표본공간의 하나의 원소.
    • 예: 주사위 눈 {1}, {2}, ...
  4. 사건 (Event):
    • 표본공간의 부분집합.
    • 예: 주사위 눈이 짝수인 사건 {2, 4, 6}. - 내가 관심있게 볼 것.

3. 확률 계산의 예

  • 두 개의 주사위를 던질 때:
    • 표본공간: 36개의 단순사건.
    • 눈의 합이 7이 되는 사건: {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} → 6개.
    • 확률: 6/36 = 1/6

4. 확률의 수학적 정의

  • 확률은 표본공간에서 정의된 함수:
    • 정의역: 표본공간.
    • 치역: 사이의 실수 값.

5. 확률의 기본 성질

  1. 임의의 사건 A의 확률은 0 ≤ P(A) ≤ 1
  2. 표본공간 전체에 대한 확률 P(S) = 1

 

확률의 법칙: 개념과 용어 정리

1. 집합의 기본 개념

  • 합집합 (Union):
    • 집합 A와 집합 B 중 어느 한쪽이라도 포함되는 전체 영역.
    • 표현: A∪B
    • 예: 벤다이어그램에서 A와 B를 합친 부분.
  • 교집합 (Intersection):
    • 집합 A와 집합 B의 공통되는 영역.
    • 표현: A∩B
    • 예: 벤다이어그램에서 A와 B가 겹치는 부분.
  • 여집합 (Complement):
    • 집합 A의 포함되지 않은 영역.
    • 표현: A^c또는 Aˉ
    • 의미: A를 제외한 표본공간의 나머지.
  • 배반사건 (Disjoint Event):
    • 집합 A와 B의 교집합이 없는 경우 (겹치는 부분 없음).
    • 표현: A∩B=∅ (영집합 또는 null set).
    • 예: 벤다이어그램에서 A와 B가 완전히 분리된 경우.

유명한 퀴즈 몬테홀 문제

 

조금만 생각해보면 당연하다. 서로 무관한 두 사건이 같이 일어날 확률은 각각의 확률을 곱하는 것이다!

 

(B 사건을 조건으로 A가 일어날 확률) x ( B가일어날 확률) = A,B가 모두 일어날 확률

 

 

임의표본 (Random Sample): 개념과 용어 정리

1. 임의표본의 정의

  • 임의표본은 모집단에서 크기 n의 표본 X1,X2,..,Xn을 추출했을 때:
    1. 각 표본은 서로 독립.
    2. 각 표본 동일한 분포를 가짐.
  • 동일한 분포를 갖는다는 것은 같은 모집단에서 표본이 추출되었으며 동일한 방식으로 분포 되어 있다는 말이다. 수학적으로 각 표본의 확률 밀도 함수 또는 확률 질량함수가 같음을 의미한다. (특정 값이 나타날 확률이 모든 표본에서 동일)